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고등학교

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예비고1이라면 입학전 알고가자! 예비 고1와 고등학생들을 위한 수학계통도를 여러 자료를 참고하여 간단히 만들었습니다. 흐름을 알면 수학이 재미있을 뿐 아니라 공부하다가 이해하기 힘들어질 때 다시 이전으로 돌아가서 복습할 수 있어 기초를 점검할 수 있습니다. 우리가 배우는 학교 수학에서는 수학을 총 5가지로 분류합니다. 수와 연산 문자와 식 함수 기하 확률과 통계 이 5가지 분류를 토대로 가장 큰 흐름만 연결시켜 볼 수 있습니다. 다만, 정확하게 분류하는 것은 구체적으로 들어가면 연결하는 것이 쉽지 않고 너무 크게 하면 의미가 없어지므로 대략적으로 가장 대표적인 흐름으로 정리했습니다. 예비 고1이라면 중학교 복습이 필요하고, 이미 고2~3 학생들에게는 점검하는 부분을 찾는 것이 중요합니다.
미래에도 계속 그 규칙 그대로 | 수열의 귀납적 정의 수열의 귀납적 정의에 대해서 살펴봅니다. 먼저 귀납에 대해서 알아야하는데, 귀납의 대략적인 뜻은 특수한 사례를 가지고 일반적인 경우까지 고려하는 것입니다. 귀납법이란, 개별적인 특수한 사실이나 현상에서 그러한 사례들이 포함되는 일반적인 결론을 이끌어내는 추론 형식의 추리방법이다. -위키백과- 그러니까 수열에 적용하면, 수의 나열 즉 몇 개의 항만 나열해보고 그 다음부터는 계속 같은 규칙으로 나열할 수 있도록 정의하는 것입니다. 간단히 생각하면 규칙을 수식으로 표현했다고 생각하면 됩니다. 예를 들어, 등차수열의 귀납적 정의를 항과 항 사이의 차이가 일정하다는 것을 수식으로 사용해서 적어보면 다음과 같습니다. 대표사진 삭제 사진 설명을 입력하세요. 그렇지만 우리가 배운 임의의 연달아 나열되어 있는 세개의 항..
주의하지 않으면 놓치기 쉬운 중복순열| 중복순열 | 확률과 통계 주의하지 않으면 놓치기 쉬운 중복순열| 중복순열 | 확률과 통계 원순열에 이어서 중복순열입니다. 순열과 비교하여 공부하는 것이 가장 좋은데, 특히 중복순열은 생각보다 간단하기 때문에, 그냥 지나가기 쉽습니다. 먼저, 순열과 중복순열을 살펴보면 다음과 같습니다. 순열: 서로 다른 n개에서 r개를 선택하여 일렬로(또는 직선으로) 배열하는 경우의 수 VS 중복순열: 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여, r개를 선택하는 일렬로 배열하는 경우의 수 역시 중복을 허용한다는 말이 가장 큰 차이점이 됩니다. 순열에서 배웠던 방법처럼 살펴봅시다. 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하여 배열하면 되는데, 첫 번째에는 당연히 n가지가 있습니다. 두 번째에는 순열에서는 하나를 제거하여, n-1 가지였지만, 지금은..
알고 있는 수열로 모르는 수열을 분해하라 | 시그마의 성질응용 | 수학1 오늘은 시그마의 성질을 응용하여 모르는 수열을 알아가는 과정을 살펴보려고 합니다. 먼저, 다음 수열을 살펴보세요. 2, 6, 12, 20, 30 오늘도 5개의 항이지만 많은 항이 나열되어 있다고 생각하면서 살펴보세요. 수열을 보는 순간 규칙을 찾아야겠다고 생각하는 것이 자연스러운?! 학습의 결과입니다. 등차수열, 등비수열이 아님을 확인하셨나요? 혹시 심화과정으로 계차수열을 배웠다면 사용하셔도 괜찮습니다. 처음 보는 수열이라면 n=1, n=2 등등 어떻게 항이 달라지는지 관찰하세요. 수학에서 너무 당연해서 언급하지 않지만 "관찰력"은 기본적인 능력입니다. 2는 1과 2의 곱 6은 2와 3의 곱 12는 3과 4의 곱 20은 4와 5의 곱 30은 5와 6의 곱 따라서 일반항은 다음과 같습니다. 일반항: n(n..
알고 보면 2가지 의미를 가진 | 원순열 | 확률과 통계 알고 보면 2가지 의미를 가진 | 원순열 | 확률과 통계 문의사항에 따라 확률과 통계를 시작합니다. 확률과 통계를 선택과목으로 분리하면서, 기본적인 개념인 순열과 조합을 고등학교 1학년 과정과 분리하였습니다. 따라서 반드시 순열과 조합을 복습하셔야 합니다. 원순 열은 순열에서 조건 하나만 바꾼 경우의 수를 구하는 것입니다. 서로 다른 n개를 일렬로(직선으로) 배열하는 경우의 수 vs 서로 다른 n개를 원 (모양)으로 배열하는 경우의 수 원 모양이라는 단어는 단순하게 동그라미의 의미를 가지고 있지 않습니다. 원 모양으로 배열한다는 것은 일정한 간격으로 배열하여, 일종의 정 n각형을 이루도록 배열한다는 것입니다. 따라서 원순열에서 가장 중요한 것은 "회전하여 일치되는 경우의 수를 고려하는 것"입니다. 회전해..
자연수 거듭제곱의 합 공식증명 | 시그마로 표현 | 수학1 오늘은 많은 친구들이 지나가는?! "자연수 거듭제곱의 합 공식 증명"에 대해서 살펴보려고 합니다. 우리는 항등식을 가져와서 증명을 하는 것이 일반적입니다. 사실 핵심은 우리가 아는 공식으로부터 모르는 공식을 도출하기 위한 방법입니다. 증명과정은 글보다는 영상이 효율적이므로 영상을 통해 확인하길 바랍니다. 우리가 암기하고 활용해야 할 공식은 다음과 같습니다.
풀어내면 나오는 | 시그마의 성질 | 수학1 시그마의 성질에 대해서 살펴보려고 합니다. 시그마의 성질은 사실 시그마를 다시 꺼내면 드러나게 됩니다. 여기서 성질을 살펴보기 위해서 5개의 항을 사용할 것이지만 실제로는 대략 15~20개의 항을 사용한다고 생각하면 좋을 것 같습니다. 6+7+8+9+10의 수열의 합과 5+4+3+2+1의 수열의 합을 더한다고 생각하면, 두 개를 따로 더하는 것보단 대응하는 항끼리 더하는 것이 더 편합니다. 11= 6+5= 7+4= 8+3= 9+2= 10+1 이므로 두 수열의 합을 더하면, 11+11+11+11+11 이 됩니다. 이것을 시그마로 표현하는 것이 시그마의 성질입니다. 또, 6+7+8+9+10의 수열의 합과 1+2+3+4+5의 수열의 합을 이번에는 뺀다고 생각하면, 역시 두 개의 합을 구한 후 빼는 것보단 대응..
4가지 개념을 하나로 | 시그마 기호 | 수학1 아마도 이미 우리는 수열의 합에 대한 기호를 배웠습니다. 그것은 바로 Sn입니다. Sn의 뜻은 첫째 항부터 n번째 항까지의 합을 뜻하는 기호입니다. 하지만 이 기호에는 단점이 하나 있는데, 그것은 바로 반드시 첫째 항부터 합해야 한다는 것입니다. 얘를 들어서 제 5항부터 제10항까지 합하고 싶을 때, Sn기호를 사용해서 표현한다면 다음과 같습니다. 즉 제 1항부터 제4항까지는 우리가 원하는 항이 아니니까 빼면 됩니다. 하지만 이 경우에는 너무 번거롭고 불편한 기호입니다. 따라서 우리는 새로운 기호를 만들려고 합니다. 기호를 만들때는 우리가 원하는 내용이 모두 함축되어야 합니다. 우리가 사용할 수열을 / 몇 번째 항부터 / 몇번째 항까지/ 합하다 우리는 위 문장에서 4가지 요소를 모두 보이면서 기호를 만들..

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