주의하지 않으면 놓치기 쉬운 중복순열| 중복순열 | 확률과 통계

주의하지 않으면 놓치기 쉬운 중복순열| 중복순열 | 확률과 통계

 

원순열에 이어서 중복순열입니다.

 

순열과 비교하여 공부하는 것이 가장 좋은데, 특히 중복순열은 생각보다 간단하기 때문에, 그냥 지나가기 쉽습니다.

 

먼저, 순열과 중복순열을 살펴보면 다음과 같습니다.

 

순열: 서로 다른 n개에서 r개를 선택하여 일렬로(또는 직선으로) 배열하는 경우의 수 
VS
중복순열: 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여, r개를 선택하는 일렬로 배열하는 경우의 수

역시 중복을 허용한다는 말이 가장 큰 차이점이 됩니다.

 

순열에서 배웠던 방법처럼 살펴봅시다.

 

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하여 배열하면 되는데,

 

첫 번째에는 당연히 n가지가 있습니다.

두 번째에는 순열에서는 하나를 제거하여, n-1 가지였지만, 지금은 중복을 허용하므로 그대로 n가지입니다.

세 번째에도 n가지이며

r번째까지 모두 n가지입니다.

 

이제 모두 곱의 법칙에 따라 곱하면, n을 r번 곱하는 결과나 나옵니다.

 

중복순열에서는 우리가 곱셈을 여러 번 한다는 의미에서 기호를 하나 더 쓰는데, 그것은 바로  ∏(파이)입니다.

nPr과 비교하여, 중복순열은 n∏r라고 쓰며, 자연스럽게 그 값은 n의 r제곱 (n을 r번 곱한 것)입니다.

 

이제 중복순열의 개념은 끝났습니다.

하지만 문제는 따로 있습니다.

 

더 주의 깊게 순열과 비교해야 하는 이유로, 

중복된다는 표현을 하지 않는 경우가 생긴다는 것입니다.

 

간단히 살펴보면, 순열에서 r은 n보다 작아야 성립했습니다만 중복순열에서는 중복을 허용하기 때문에, 그 조건이 필요하지 않습니다.

즉, r은 n보다 작을 이유가 없으므로 r은 0보다 크기만 만족하면 그 외에는 제약조건이 없습니다.

이러한 이유로 중복을 허용한다는 말이 문제 상황에 함축되는 경우가 많아서 조심해야 합니다.

 

중복순열 문제를 풀어보면서 중복순열 단원이 아니라면 알 수 있었을까? 또 무엇이 중복 가능한 대상인지를 고민해봐야 합니다.

대표적인 유형의 문제로 함수의 개수에 관한 문제가 있으니 아래 영상에서 확인해보길 바랍니다.