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고등학교/수학1 (고등학교 2학년)

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미래에도 계속 그 규칙 그대로 | 수열의 귀납적 정의 수열의 귀납적 정의에 대해서 살펴봅니다. 먼저 귀납에 대해서 알아야하는데, 귀납의 대략적인 뜻은 특수한 사례를 가지고 일반적인 경우까지 고려하는 것입니다. 귀납법이란, 개별적인 특수한 사실이나 현상에서 그러한 사례들이 포함되는 일반적인 결론을 이끌어내는 추론 형식의 추리방법이다. -위키백과- 그러니까 수열에 적용하면, 수의 나열 즉 몇 개의 항만 나열해보고 그 다음부터는 계속 같은 규칙으로 나열할 수 있도록 정의하는 것입니다. 간단히 생각하면 규칙을 수식으로 표현했다고 생각하면 됩니다. 예를 들어, 등차수열의 귀납적 정의를 항과 항 사이의 차이가 일정하다는 것을 수식으로 사용해서 적어보면 다음과 같습니다. 대표사진 삭제 사진 설명을 입력하세요. 그렇지만 우리가 배운 임의의 연달아 나열되어 있는 세개의 항..
알고 있는 수열로 모르는 수열을 분해하라 | 시그마의 성질응용 | 수학1 오늘은 시그마의 성질을 응용하여 모르는 수열을 알아가는 과정을 살펴보려고 합니다. 먼저, 다음 수열을 살펴보세요. 2, 6, 12, 20, 30 오늘도 5개의 항이지만 많은 항이 나열되어 있다고 생각하면서 살펴보세요. 수열을 보는 순간 규칙을 찾아야겠다고 생각하는 것이 자연스러운?! 학습의 결과입니다. 등차수열, 등비수열이 아님을 확인하셨나요? 혹시 심화과정으로 계차수열을 배웠다면 사용하셔도 괜찮습니다. 처음 보는 수열이라면 n=1, n=2 등등 어떻게 항이 달라지는지 관찰하세요. 수학에서 너무 당연해서 언급하지 않지만 "관찰력"은 기본적인 능력입니다. 2는 1과 2의 곱 6은 2와 3의 곱 12는 3과 4의 곱 20은 4와 5의 곱 30은 5와 6의 곱 따라서 일반항은 다음과 같습니다. 일반항: n(n..
자연수 거듭제곱의 합 공식증명 | 시그마로 표현 | 수학1 오늘은 많은 친구들이 지나가는?! "자연수 거듭제곱의 합 공식 증명"에 대해서 살펴보려고 합니다. 우리는 항등식을 가져와서 증명을 하는 것이 일반적입니다. 사실 핵심은 우리가 아는 공식으로부터 모르는 공식을 도출하기 위한 방법입니다. 증명과정은 글보다는 영상이 효율적이므로 영상을 통해 확인하길 바랍니다. 우리가 암기하고 활용해야 할 공식은 다음과 같습니다.
풀어내면 나오는 | 시그마의 성질 | 수학1 시그마의 성질에 대해서 살펴보려고 합니다. 시그마의 성질은 사실 시그마를 다시 꺼내면 드러나게 됩니다. 여기서 성질을 살펴보기 위해서 5개의 항을 사용할 것이지만 실제로는 대략 15~20개의 항을 사용한다고 생각하면 좋을 것 같습니다. 6+7+8+9+10의 수열의 합과 5+4+3+2+1의 수열의 합을 더한다고 생각하면, 두 개를 따로 더하는 것보단 대응하는 항끼리 더하는 것이 더 편합니다. 11= 6+5= 7+4= 8+3= 9+2= 10+1 이므로 두 수열의 합을 더하면, 11+11+11+11+11 이 됩니다. 이것을 시그마로 표현하는 것이 시그마의 성질입니다. 또, 6+7+8+9+10의 수열의 합과 1+2+3+4+5의 수열의 합을 이번에는 뺀다고 생각하면, 역시 두 개의 합을 구한 후 빼는 것보단 대응..
4가지 개념을 하나로 | 시그마 기호 | 수학1 아마도 이미 우리는 수열의 합에 대한 기호를 배웠습니다. 그것은 바로 Sn입니다. Sn의 뜻은 첫째 항부터 n번째 항까지의 합을 뜻하는 기호입니다. 하지만 이 기호에는 단점이 하나 있는데, 그것은 바로 반드시 첫째 항부터 합해야 한다는 것입니다. 얘를 들어서 제 5항부터 제10항까지 합하고 싶을 때, Sn기호를 사용해서 표현한다면 다음과 같습니다. 즉 제 1항부터 제4항까지는 우리가 원하는 항이 아니니까 빼면 됩니다. 하지만 이 경우에는 너무 번거롭고 불편한 기호입니다. 따라서 우리는 새로운 기호를 만들려고 합니다. 기호를 만들때는 우리가 원하는 내용이 모두 함축되어야 합니다. 우리가 사용할 수열을 / 몇 번째 항부터 / 몇번째 항까지/ 합하다 우리는 위 문장에서 4가지 요소를 모두 보이면서 기호를 만들..
공비를 고려해서 가능한 한 많이 중복시키자 | 등비수열의 합 먼저 다음 등비수열의 합을 계산하려고 시도해보자. 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 +192 이 등비수열은 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열이다. 아마도 7개뿐이므로 차례대로 덧셈을 하려고 시작이 될 것이다. 이어서 10개, 20개의 항까지 등 많이 더한다고 상상해보자. 아마도 계산하기 싫을 것이고 실수를 조심해야 할 것이다. 그러므로 어떻게 하면 간단하게 합을 계산할지 고민해보는 것이 처음으로 해야 할 일이다. 우리가 쉽게 생각해볼 수 있는 것은 분배법칙 입니다. (물론, 접근은 사람마다 다릅니다.) 첫째항에서 계속 2를 곱해서 만들고 있으므로, 모든 항은 3을 인수로 갖는다. 따라서 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 +192을 3에 관해 분배 법칙을 전개해보자. 3(1+2..
등비중항은 무슨 평균인가? 오늘은 등비중항에 대해서 이야기하려고 합니다. 역시 등비중항도 등차중항과 비교하면 좋습니다. 한자 풀이는 자연스럽게 등비수열에서 가운데 있는 항이라는 뜻입니다. a, b, c를 등비수열이라고 하면 우리는 b를 등비중항이라고 부릅니다. 그런데, a, b, c가 등비수열이므로 항과 항 사이의 비율이 일정합니다. 따라서 공비 r 을 가져와서 표현하면 항 과 항 사이의 비율이 모두 1 : r입니다. a : b = 1 : r이고 b : c = 1 : r입니다. 결국 a : b = b : c를 얻게 되며, 이를 정리하면 따라서 a와 c의 등비중항을 b라고 부르면서 동시에 기하평균이라고 부릅니다. 물론 제곱근 기호(루트)를 사용하여 표현할 수 있습니다. 영상에서는 기하평균의 이미지에 대한 언급을 추가로 했습니다.
몇 칸 건너갔어? | 등비수열의 일반항 오늘은 등비수열의 일반항에 대해서 살펴봅니다. 함수의 의미를 생각하기 앞서서 등비수열의 의미에 맞게 n번째 항을 찾아봅시다. 예를 들어, 1, 3, 9, 27,... 이렇게 등비수열이 있습니다. 이 수열이 등비수열인 이유는 항과 항 사이의 비율이 모두 1: 3 이기 때문입니다. 첫째항인 1에서 공비 3을 가지고 등비수열을 만든 것과 같습니다. 따라서 두 번째 항은 1에서 1칸을 건너서 3이 됩니다. 1:3을 생각해야 합니다. 세 번째 항은 1에서 2칸을 건너서 9가 됩니다. 3:9=1:3을 고려해봅니다. 따라서 첫째항에 공비 3을 건너간 칸 수만큼 곱해주면 된다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 n번째 항은 1에서 n-1칸을 건너서 구하면 됩니다. 이렇게 n번째 항을 찾을 수 있습니다. 일반적으로 첫째항..

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