공비를 고려해서 가능한 한 많이 중복시키자 | 등비수열의 합

먼저 다음 등비수열의 합을 계산하려고 시도해보자.

 

3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 +192

이 등비수열은 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열이다.
아마도 7개뿐이므로 차례대로 덧셈을 하려고 시작이 될 것이다.

이어서 10개, 20개의 항까지 등 많이 더한다고 상상해보자.
아마도 계산하기 싫을 것이고 실수를 조심해야 할 것이다.

 

그러므로 어떻게 하면 간단하게 합을 계산할지 고민해보는 것이 처음으로 해야 할 일이다.

우리가 쉽게 생각해볼 수 있는 것은 분배법칙 입니다. (물론, 접근은 사람마다 다릅니다.)
첫째항에서 계속 2를 곱해서 만들고 있으므로, 모든 항은 3을 인수로 갖는다.
따라서
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 +192을 3에 관해 분배 법칙을 전개해보자.
3(1+2+4+8+16+32+64)이므로 우리는 이전 보다 작은(?!) 수를 더하면 된다.

물론 이것도 등비수열의 합이며, 이것은 첫째항이 1이고 공비가 3인 등비수열이다.
S = 1+2+4+8+16+32+64 라고 두자.

보통, 합한다는 뜻의 Sum의 첫글자를 가져와서 사용한다.

여기서 S에 공비 2를 곱하면,
2S=2+4+8+16+32+64 +128이 되면서 S와 중복되는 것이 많아진다.
이에 따라, 2S에서 S를 빼면
좌변은 S, 우변은 128-1이 됨을 알 수 있다.
즉, S= 127이고 우리가 구하고자 하는 등비수열의 합은 3 X 127 = 381 이다.

이러한 사례를 하면 우리는 규칙성을 찾을 수 있지만 귀납 추론이라 참이라고 주장하기 어렵습니다.
따라서 일반적인 증명을 위해 문자로 표현하여 증명할 수 있습니다.

 

다음 필기를 참고하세요.

물론, 공비 r=1 인 경우를 생각해볼 수 있다.
그런데, 이것은 첫째항이 a이므로 a+a+... + a 즉 a를 n번 더한 것과 같아서 등비수열의 합 S= na라고 하면 되겠다.

 

아래 영상에서 확인하세요.