우주에서도 수학은 통할까?

― 형식불역의 원리와 허수 i의 철학적 의미

새로운 행성에 도착했다면,
여러분은 가장 먼저 무엇을 확인하고 싶으신가요?

 

숨 쉴 수 있을까?
식량은 있을까?
인터넷은 연결될까?

이 질문들엔 공통된 전제가 담겨 있습니다.
낯선 환경에서도 익숙한 형식을 찾고자 하는 인간의 본능이죠.

수학은 낯선 세계를 어떻게 받아들일까?

우리가 다른 나라로 이사할 때를 떠올려보세요.
전기, 인터넷, 마트가 있다면 “살 만하겠다”는 생각이 들겠죠.

수학도 마찬가지입니다.
기존 규칙이 유지된다면, 전혀 새로운 수나 개념도 받아들일 수 있습니다.
이를 수학에서는 ‘형식불역의 원리’라고 합니다.

형식불역의 원리란?

수 체계가 확장되더라도 기존 연산 규칙과 논리가 유지되는 성질을 말합니다.

• 2×2 = 4
• 2×1 = 2
• 2×0 = 0
• 2×(–1) = –2
• (–1)×(–1) = ?

이 흐름에서 형식을 유지하려면
(–1)×(–1) = +1이 되어야 합니다.

그런데, 규칙이 무너지는 상황에선?

넓이가 –1인 정사각형이 존재한다면?
기존 규칙끼리 충돌하게 됩니다.

• √–1 × √–1 = –1 (넓이 기반)
• √–1 × √–1 = √1 = +1 (근호 성질)

이 모순을 해결하기 위해 등장한 개념이 허수 i입니다.

허수 i의 도입

i = √–1

i × i = –1

이 정의는 복소수 체계로의 확장을 가능하게 합니다.
형식을 지키며, 새로운 세계로 나아가는 사고 방식이죠.

 

수학과 삶의 리듬

새로운 환경에서 우리가 ‘하루의 리듬’을 유지하려 하듯,
수학도 그 리듬을 지키며 확장됩니다.

 

다음 글에서는 형식불역적 사고방식을 삶에 어떻게 적용할 수 있을지
함께 생각해보려 합니다.