추상화이라는 이름의 수학

 

추상적이라는 말은 생각보다?! 우리에게 친한 듯하다.

그러나 친근한 단어이지만 생각보다 잘 알지 못하는 것 같다.

 

국어선생님이 ' ~화 '를 해석하는 방법에 대해 말씀하신 적이 있다.

A 화란, A가 아닌 것을 A가 되는 것으로 이해하는 것이라고 했다.

예를 들어, 자동화는 자동이 아닌 대상을 즉, 수동으로 작동하는 대상을 자동이 되는 것이고

문서화는 문서가 아닌 대상을 문서가 되도록 변환하는 것이다.

 

그런 의미에서, 추상화는

추상적이지 않은 대상을 추상적인 대상으로 바꾸는 것이라고 이해해야 하지 않을까?

그렇다면, 추상적이지 않은 대상이 무엇일까?

 

사실 추상적이지 않은 대상은 구체적인 대상을 생각하기 쉽다.

추상화라는 것을 다시 본다면, 구체적인 대상을 구체적이지 않은 대상으로 바꾸는 것으로 해석할 수 있다.

 

구체적인 대상을 어떻게 구체적이지 않은 대상으로 생각할 수 있을까?

이 질문에 대한 답이 추상화라는 것을 이해하는 데 도움이 될 수 있으리라 생각한다.

 

먼저 수학 역사적으로 살펴보면 크게 2가지 관점에서 시작한다.

 

첫 번째, 구체적인 대상 자체의 고유한 특성만을 생각하는 것이다.

하나의 대상은 여러 가지 특성들을 가지고 있는데, 그 특성들이 모여 하나의 구체적인 대상을 이룬다.

그러므로, 구체적인 대상 즉, 여러 가지 특성을 분리하고 일부의 특성을 고려하는 것이 추상화라 할 수 있다.

예를 들면 에어컨이라는 구체적인 대상은 차가움, 바람, 공기 청정, 낮은 온도 등의 특성들을 가지고 있을 것이다.

이때, 차가움이라는 대상만을 고려하는 것이 추상화했다고 할 수 있다.

또 사과라는 구체적인 대상에는 신맛, 추수, 가을, 나무, 빨강 등의 특성에서부터 빨강이라는 색상을 고려하는 것이 추상화를 설명하는 대표적인 예시이다.

 

두 번째, 자신의 구체적인 행동, 활동을 대상으로 하여, 그 활동의 고유한 특성(원인, 목적, 결과 등등)을 고려하는 것이다.

조금 자세히 설명해 보면,

구체적인 대상을 자신의 행동이라고 한다면,

고유한 특성을 행동하는 과정, 결과로부터 얻어진 정신적인 사고를 행동의 고유한 특성이라고 할 수 있다.

(모든 행동에는 이유가 있다!?)

예를 들어, 1번부터 10번까지의 만화책이 있는데, 이 만화책을 책장에 정리한다고 생각해 보자. 책장의 크기, 책의 색상, 책의 중요도 등에 따라 분류 및 정리한다. 만약, 1~5번까지, 6~10번까지 나눠서 정리한 경우라면 이등분, 2가지 종류로 분류라는 정신적인 사고에서 기인했다고 추상화할 수 있다. 그 추상화를 기호를 사용해서 표현하는 것을 숫자 2일 것이다.

 

두 번째의 경우는 구체적인 대상을 시각적으로 보이는 활동, 행동 자체로 해석할 수 있다. 하지만 같은 대상 또는 실행하진 않지만 머릿속으로 만 생각한 경우, 정신적 활동을 구체적인 대상으로 생각할 수 있다. 행동에 의존하는 경우와 의존하지 않은 경우로 나뉘어 추상화를 분류하기도 한다.

 

추상화라는 것이 다소 복잡하다.

 

어쨌든, 수학은 추상화로 이루어진 학문이다.

다음은 수학에서 이루어지고 있는 몇 가지 '~화'를 나열해 본 것이다.

 

1. 숫자화 (Numeralization)
2. 통계화 (Statisticalizaion)
3. 기호화 또는 상징화 (Symbolization)
4. 도형화 (Geometricize)
5. 좌표화 (Coordinate)
6. 단순화 (Simplification)
7. 함수화 (Functionalization)

 

이 외에도 많은 '~화'가 있을 텐데, 이러한 내용들은 수학에 대한 고유한 특성일 것이다.

다시 말하면, 수학의 구체적인 특성을 대상이라 둔다면, 구체적인 대상에서 공통된 속성을 고려한다면 여기서도 추상화가 이루어질 수 있다. 즉, 추상화된 결과인 수학이라는 대상의 고유한 특성들 중에서 하나의 특성을 고려할 수 있다. 이러한 사고과정의 반복이 수학을 설명하는 하나의 관점이 될 것이다.

 

이 과정이 '수학화'라는 생각을 할 수 있다.

수학이 아닌 대상 즉, 구체적인 대상을 추상화하여 수학적인 요소로 고려하는 과정이 있다.

더 나아가 추상화한 대상의 수학적 요소를 구체적인 대상으로 삼고, 다시 추상화하는 과정도 포함한다.

이는 수학교육학자 프로이덴탈 이론을 읽어보면 조금 더 학문적으로 이해할 수 있으리라 생각한다.

 

추상화를 반복하는 것 그 자체가 수학일지 모르겠다.

 

 

 

 

 

 

무슨 말인지 모르겠다고?!

 

다음 활동이 수학의 과정이었다.

 

용 dragon을 그리거나 떠올려 보세요.

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