전공자가 말하는 '음X음=양'에 대한 이야기

안녕하세요 독해진수학의 진쌤입니다.
우연히, 음수와 음수의 곱이 양수인 설명을 봤습니다..

정말 궁금하셔서 보시는 분들에게 먼저 사과의 말씀을 드릴게요.. 그 이유는 나중에...
이 이야기를 시작하려면 생각보다 깊이 있는 이야기를 해야 할지 모릅니다.
많이 바쁘니, 최대한 간결하게 전달해보겠습니다.

이 이야기는 사실 '숫자의 개념'에서 시작합니다.
어쩌면 여러분들도 숫자의 개념이 초등 수준에 머물러 있을지 모릅니다?!

자신의 숫자의 개념이 어떤지 가늠할 수 있는 질문을 해볼게요. (문제의 의도를 파악해서 대답하시면 곤란합니다..)
지금부터 숫자의 개념을 담고 있는 수를 생각해 보세요.
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혹시 아라비아 숫자 즉 1, 2, 3, 4, 5 등의 자연수 혹은 숫자 0을 생각하셨나요??
아니라면, 조금 더 높은 수준일 것입니다.
여기서 중요한 것은 숫자가 갖는 의미를 어떻게 생각하고 있느냐 하는 것입니다.

그러니까!
아라비아 숫자의 표현처럼 생각하는 것은 숫자를 다음과 같이 생각하는 결과입니다.
개수 또는 순서
( 일반적으로 수학에서는 기수와 서수라고 합니다.)
대부분 사람들은 숫자의 개념을 '개수'라고 인식하는 경향이 있는 것 같습니다만
중학교 1학년을 지나면서 그 개념을 확장하려고 선생님들께서 노력을 많이 하셨습니다.

문제는 이곳에 있습니다.
음수 즉 더 좁게 설명하면 음의 정수의 곱셈을 생각할 때, 숫자의 개념을 '개수'에 한정시켜서 설명하기를 원한다는 것입니다. 혹시 여러분들도 "음수와 음수의 곱을 이해시켜주세요"라는 질문에 개수의 개념으로 이해가 되지 않기 때문 아닌가요?

음수와 음수의 곱셈을 이야기하는 것은 수의 개념을 개수에서 보다 더 확장해야만 이야기할 수 있습니다.

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네, 죄송합니다. 개수로는 설명드릴 수 없습니다. 그래서 앞서서 사과의 말씀을 드렸습니다.

역사적으로도 수학자들은 수의 개념을 '개수'에서 벗어나지 못해서 이해하기 어려웠다고 합니다.

대표적인 수학자의 질문으로 '음수의 제곱은 왜 양수인가요? '가 있습니다.
이 질문은 제곱이라는 개념은 과거 정사각형의 넓이(크기와 개수랑 비슷한 맥락) 개념이었습니다.
길이가 음수라는 것부터 이상하지만, 그것의 넓이가 양수가 되는 것도 더 이상하다고 느낀 것 같습니다.
(이것은 프로이덴탈이 말하는 제가 사고실험 해본 것입니다.)
과거 수학자들도 음수와 음수의 곱이 양수가 된다는 사실이 이해가 되지 않았어요.
출처 입력
그래서 음수와 음수의 곱이 왜 양수냐고요?

어떤 분들은 수직선 위에서 설명하려고 노력합니다.
네, 여러분께 직관적으로 설명드릴 수 있는 방법은 수직선에서 설명하는 것이 최선입니다.
에이... 뭐야라고 하실지 모르겠네요. 미안합니다. 사실이니까요.
자, 그래도 해명은 해야 하니까 조금만 더 이야기하도록 할게요.

여러분과 같은 질문와 의문으로 음수를 숫자로 봐야 하는 것인가? 이야기까지 나왔다고 상상해봅니다.
그러나, 숫자의 개념을 '개수'로만 사용하기에는 수학에서 음수는 너무 중요하고 존재해야 하는 숫자였습니다.
그러면서 세월이 지나다가 드디어 독일의 수학자 Hankel 이 등장합니다.
그러면서 숫자의 개념으로 '개수'를 버리라고 (음... 아마도?! 제 생각에는 그랬을 것 같습니다.)

왜냐하면, Hankel 은 음수를 설명하는 구체적인 것, 사실적인 것을 버리고 단순히 형식적인 구조만으로 도입하길 주장했기 때문입니다. Hankel의 주장으로 수학자들도 수직선에서 음수와 음수의 곱을 양수로 설명하려는 시도를 포함하여, 여러 가지 직관적인 설명들을 포기하기 시작합니다.

음수와 음수의 곱은 양수인 이유는 형식적인 구조를 유지하기 위함입니다.
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너무 허무했나요?? 다시 한번 미안하다고 전하고 싶네요.
그렇지만 수직선에서의 설명, 우체부 모델이라고 불리는 적자와 흑자의 개념으로의 설명 등은 여러분이 이해가 되었다면 아주 좋은 설명 방법입니다.

끝으로 형식적인 구조를 유지하기 위한다는 뜻이 무엇인지 이야기하고 글을 정리할까 합니다.

개수 또는 순서 (기수와 서수)에서 사용했던 원리들을 유지할 수 있도록 고려하면서 음수를 가져오는 것을 말합니다.
형식 불역의 원리라고도 말하는데요.
예를 들면 다음과 같습니다.

2 곱하기 3은 6입니다.
2 곱하기 2는 4입니다.
2 곱하기 1은 2입니다.
2 곱하기 0은 0입니다.
그렇다면 ???
2 곱하기 (-1)은 무엇이면 좋을까요?

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자연스럽게 다음 숫자를 어느 곳에 점을 둘지 예측할 수 있으리라 생각합니다.

음수와 음수의 곱이 양수라는 의미는 개수라는 개념에서 찾기는 쉽지 않습니다.
수학자들도, 배우는 학생들도 우리는 수의 개념을 새롭게 해야 하는 상황입니다. (이것을 인식론적 장애라고 합니다.)
우리가 갖고 있는 개념을 변화시켜야 이해가 조금 더 수훨합니다...

음수 곱하기 양수는 우리가 일반적인 상황에서 개수의 개념과 반대의 개념을 가져오면 나름대로 설명이 가능합니다.
맺음말은 다음 질문으로 대체하겠습니다.

(-1) 곱하기 5 는 (-5) 입니다.
(-1) 곱하기 4는 (-4) 입니다.
(-1) 곱하기 3은 (-3) 입니다.
(-1) 곱하기 2는 (-2) 입니다.
(-1) 곱하기 1은 (-1) 입니다.
(-1) 곱하기 0은 ( 0 )입니다.

그렇다면...
(-1) 곱하기 (-1)은 무엇일까요?

감사합니다..